Macam-macam Himpunan
Kamis, 01 Desember 2011
Himpunan Kosong
Himpunan A dikatakan himpunan kosong bila bilangan kardinal dari himpunan A = 0 atau n(A) = 0. Himpunan kosong dinotasikan dengan (phi) atau . Jadi apabila A = , maka A = atau A = dan n(A) = 0.
Perhatikan contoh di bawah ini!
1. B =
2. C =
3. D =
4. E = dan F =
Contoh 1, 2 dan 3 merupakan contoh himpunan yang tidak memiliki anggota atau n(B) = n(C) = n(D) = 0. Tetapi contoh 4, himpunan E dan F bukan contoh himpunan kosong, karena E memiliki anggota yaitu “0” dan F juga memiliki anggota yaitu .
Himpunan Semesta
Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan U (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan. Biasanya hinpunan semesta ditetapkan sebelum kita membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan tersebut merupakan bagian dari himpunan pembicaraan.
Contoh 5:
a. Apabila kita membicarakan himpunan A maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah:
U = ,
U = ,
U = atau himpunan lain yang memuat A.
b. Apabila kita membicarakn himpunan B = , maka yang menjadi himpunan semestanya adalah :
U =
U =
U =
Himpunan Berhingga
Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu atau n(A) = a, a bilangan cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah.
Contoh 6:
a. A = karena n(A) = 0, 0 bilangan cacah.
b. B = n(B) = 75, 75 bilangan cacah.
c. C = n(C0 = 7, 7 bilangan cacah.
Himpunan Tak Berhingga
Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat himpunan berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain himpunan A, n banyak anggotanya tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah.
Contoh 7:
Q=
Apabila kita menghitung anggota himpunan Q, maka proses perhitungan anggota Q tidak akan berakhir. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga dan n(Q) = ~.
Himpunan Terbilang
Himpunan A dikatakan himpunan terbilang bila anggota himpunan A tersebut dapat ditunjukkan atau dihitung satu persatu.
Contoh 8:
a. A =
Himpunan A di atas merupakan contoh himpunan terbilang sebab dapat dihitung satu persatu, sekaligus contoh himpunan terhingga sebab n(A) = 3.
b. B =
Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan tak hingga sebab n(B) = ~.
Himpunan Tak Terbilang
Himpunan A dikatakan tak terbilang bila anggota himpunan A tersebut tidak dapat dihitung satu persatu.
Contoh 9:
R =
Himpunan R merupakan contoh himpunan tak terbilang, karena anggotanya tak dapat dihitung satu persatu. Himpunan R juga merupakan himpunan tak berhingga, karena n(R) = ~.
Himpunan Terbatas
Himpunan A dikatakan himpunan terbatas bila himpunan A mempunyai batas di sebelah kiri saja disebut himpunan terbatas kiri. Dan jika himpunan tersebut hanya mempunyai batas sebelah kanan disebut himpunan terbatas kanan. Batas sebelah kiri juga disebut batas bawah sedangkan batas sebelah kanan disebut batas atas.
Contoh 10:
a. P = , mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 4.
b. Q = , mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 3.
Tetapi 0 R dan 3 Q.
Khusus untuk himpunan tak terbatas yang semesta pembicaraanya bilangan real penulisan himpunanya dapat menggunakan notasi interval.
Contoh
a. A = dapat ditulis
b. B = dapat ditulis
c. C = dapat ditulis
d. D = dapat ditulis (0,5)
Himpunan Tak Terbatas
Himpunan A dikatakan himpunan tak terbatas bila himpunan tersebut tidak memiliki batas.
Contoh 12
R =
Simpulan
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana yang bukan anggota himpunan.
Menuliskan himpunan ada dua cara yaitu cara pendaftaran dan cara perincian.
Banyaknya anggota dari suatu himpunan biasanya juga disebut bilangan kardinal himpunan tersebut.
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota dan himpunan yang memuat anggota himpunan yang sedang dibicarakan disebut himpunan semesta.
Himpunan berhingga adalah himpunan yang bilangan kardinalnya dapat dinyatakan dengan bilangan cacah, sedangkan bilangan tak berhingga adalah bilangan yang tak memenuhi syarat pada himpunan berhingga.
Himpunan terbilang himpunan yang dapat ditunjukkan atau dihitung satu persatu, sedangkan himpunan tak terbilang adalah sebaliknya.
Himpunan A dikatakan himpunan kosong bila bilangan kardinal dari himpunan A = 0 atau n(A) = 0. Himpunan kosong dinotasikan dengan (phi) atau . Jadi apabila A = , maka A = atau A = dan n(A) = 0.
Perhatikan contoh di bawah ini!
1. B =
2. C =
3. D =
4. E = dan F =
Contoh 1, 2 dan 3 merupakan contoh himpunan yang tidak memiliki anggota atau n(B) = n(C) = n(D) = 0. Tetapi contoh 4, himpunan E dan F bukan contoh himpunan kosong, karena E memiliki anggota yaitu “0” dan F juga memiliki anggota yaitu .
Himpunan Semesta
Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan U (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan. Biasanya hinpunan semesta ditetapkan sebelum kita membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan tersebut merupakan bagian dari himpunan pembicaraan.
Contoh 5:
a. Apabila kita membicarakan himpunan A maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah:
U = ,
U = ,
U = atau himpunan lain yang memuat A.
b. Apabila kita membicarakn himpunan B = , maka yang menjadi himpunan semestanya adalah :
U =
U =
U =
Himpunan Berhingga
Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu atau n(A) = a, a bilangan cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah.
Contoh 6:
a. A = karena n(A) = 0, 0 bilangan cacah.
b. B = n(B) = 75, 75 bilangan cacah.
c. C = n(C0 = 7, 7 bilangan cacah.
Himpunan Tak Berhingga
Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat himpunan berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain himpunan A, n banyak anggotanya tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah.
Contoh 7:
Q=
Apabila kita menghitung anggota himpunan Q, maka proses perhitungan anggota Q tidak akan berakhir. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga dan n(Q) = ~.
Himpunan Terbilang
Himpunan A dikatakan himpunan terbilang bila anggota himpunan A tersebut dapat ditunjukkan atau dihitung satu persatu.
Contoh 8:
a. A =
Himpunan A di atas merupakan contoh himpunan terbilang sebab dapat dihitung satu persatu, sekaligus contoh himpunan terhingga sebab n(A) = 3.
b. B =
Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan tak hingga sebab n(B) = ~.
Himpunan Tak Terbilang
Himpunan A dikatakan tak terbilang bila anggota himpunan A tersebut tidak dapat dihitung satu persatu.
Contoh 9:
R =
Himpunan R merupakan contoh himpunan tak terbilang, karena anggotanya tak dapat dihitung satu persatu. Himpunan R juga merupakan himpunan tak berhingga, karena n(R) = ~.
Himpunan Terbatas
Himpunan A dikatakan himpunan terbatas bila himpunan A mempunyai batas di sebelah kiri saja disebut himpunan terbatas kiri. Dan jika himpunan tersebut hanya mempunyai batas sebelah kanan disebut himpunan terbatas kanan. Batas sebelah kiri juga disebut batas bawah sedangkan batas sebelah kanan disebut batas atas.
Contoh 10:
a. P = , mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 4.
b. Q = , mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 3.
Tetapi 0 R dan 3 Q.
Khusus untuk himpunan tak terbatas yang semesta pembicaraanya bilangan real penulisan himpunanya dapat menggunakan notasi interval.
Contoh
a. A = dapat ditulis
b. B = dapat ditulis
c. C = dapat ditulis
d. D = dapat ditulis (0,5)
Himpunan Tak Terbatas
Himpunan A dikatakan himpunan tak terbatas bila himpunan tersebut tidak memiliki batas.
Contoh 12
R =
Simpulan
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana yang bukan anggota himpunan.
Menuliskan himpunan ada dua cara yaitu cara pendaftaran dan cara perincian.
Banyaknya anggota dari suatu himpunan biasanya juga disebut bilangan kardinal himpunan tersebut.
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota dan himpunan yang memuat anggota himpunan yang sedang dibicarakan disebut himpunan semesta.
Himpunan berhingga adalah himpunan yang bilangan kardinalnya dapat dinyatakan dengan bilangan cacah, sedangkan bilangan tak berhingga adalah bilangan yang tak memenuhi syarat pada himpunan berhingga.
Himpunan terbilang himpunan yang dapat ditunjukkan atau dihitung satu persatu, sedangkan himpunan tak terbilang adalah sebaliknya.
